Вторая пачка часть 119

За¬ме¬тим по¬пут-но, что ме¬то¬ды Рунге - Кутта отличаются от раз-нос¬тных тем, что все они допускают вычисление функ¬¬ции не только в заранее за¬-данных узлах сет¬ки, но и в некоторых промежуточных точ¬¬ках, тем са¬мым по¬зво¬ляя уменьшать шаг вычислений во вре¬мя самого про¬цесса построения решетки. Итак, пусть требуется найти решение диф¬фе¬рен¬ци¬аль¬но¬го уравнения у' = f(х, у), удов-лет¬во¬ря¬ю¬щего на¬чаль¬ному ус¬ловию у(х0) = у0 . Численное решение задачи состоит в по-стро¬е¬нии таб¬ли¬¬цы приближенных значений у0, у1, ..., уn решения урав¬не¬ния у' = f(х,у) в точках х0, х1, ..., хn, которые на¬зы¬вают уз¬ла¬ми сетки. Для крат¬кос¬ти обозначим хi = х0+ ih; уi = у(хi), где h - шаг сет¬ки (ясно, что h > 0). Обычно методом Рунге-Кутта в литературе на¬зы¬ва¬ют ме¬¬тод, согласно которому у искомой функ¬ции вы¬чис¬ляют по формулам: уi+1 = уi + ?/6, где обозначено: ? = k1+2k2 +2k3 +k4 ; k1 = hf(xi, yi); k2 = h f(xi + h/2 ,yi + k1/2); k3 = h f(xi + h/2 ,yi + k2/2); k4 = h f(xi + h ,yi + hk3). Погрешность метода на одном шаге сетки равна М.h5 , где М - некоторое число. Но на прак¬ти¬ке даже при¬бли¬жен¬но очень трудно оценить М, поэтому при оцен¬ке по¬греш¬нос¬ти используют пра¬вило Рунге. Для че¬го сначала про¬во¬дят вы¬чис¬ле¬ния с шагом h, а затем пов-торяют их с числом h/2. Если уi(h) - приближение, вы¬чис¬ленное с ша¬гом h, а уi(h/2) - с шагом h/2, то спра¬вед¬ли¬ва оце¬нка . Именно поэтому при ре¬ализации метода на ЭВМ обыч¬но на каждом ша¬ге делают двойной пе¬¬¬ресчет. Если по¬лу¬чен¬ные значения от¬ли¬ча¬ют¬ся в пределах до¬пус¬ти¬мой погрешности, то шаг h удва¬ивают. В про¬¬¬тив¬ном слу¬чае шаг умень¬шают вдвое. На рис. 4.1 приводится схе¬¬ма этого алгоритма. Метод Рунге - Кут¬та об¬¬¬ладает по¬вы¬шен-ной точ¬¬¬нос¬тью и, не¬смот¬ря на тру¬до¬ем¬кость, ши-ро¬ко ис¬¬¬поль¬зу¬ется в вы¬¬¬чис¬ли¬тель¬¬ной ма¬те¬ма-тике для ре¬¬ше¬ния диф¬¬фе¬рен¬ци¬аль¬ных урав¬не-ний. Его лег¬ко обоб¬щить для реше¬ния сис¬¬тем ли¬ней¬ных диф¬¬фе¬рен¬¬ци¬аль¬ных урав¬¬не¬ний

Индекс
Элементарные функции Линейные уравнения Нелинейные уравнения Случайные числа