Вторая пачка часть 123
Далее, зная у0, у1, у2 и у3 , находят q0 = =hy0’ = h f(x0, y0); q2 = hy2’ = h f(x2, y2); q3 = hy3’ =h f(x3, y3); q4 = hy4’ = h f(x4, y4) и составляют таблицу конечных раз¬нос¬тей ве-личин q (табл. 4.3)
Таблица 4.3
№ п/п xi yi ?yi yi’=f(x0,y0) qi = hyi’ Конечные разности
0 x0 y0 f(x0,y0) — — — —
1 x1 y1 f(x1,y1) q0 ?q0 ?2q0 ?3q0
2 x2 y2 f(x2,y2) q1 ?q1 ?2q1
3 x3 y3 ?y3 f(x3,y3) q2 ?q2
4 x4 y4 f(x4,y4) q3
5 x4 y5 ... ...
... ... ...
Метод Адамса заключается в продолжении дан¬ной таб¬ли¬цы разностей с помощью формулы для ?уi. Ис¬поль¬зуя уже вычисленные q3, ?q2, ??q1 и ??q0, рас¬по¬ло¬жен-ные в таᬬлице диагонально, по формуле для ?уi по¬лу¬чают, по¬ла¬гая n = 3,
?у3 = q3 + 0.5?q2 + (5/12) . ??q1 + (3/8) . ??q0 ,
?у3 вносят в таблицу и находят у4 = у3+?у3. Затем, ис¬поль¬зуя х4 и у4 находят f(х4,у4), q4, ?q3, ???q2 и ??q1, т.е. новую д謬а¬го¬наль. По этим данным опре¬деляют значение ?у4, ко¬то¬рое тут же вно¬сят в таб¬ли¬цу, и находят у5 = у4 + ?у4.
Таблицу продолжают по описанному алгоритму до ее за¬по묬не¬ния, вычисляя правую часть формулы при этом толь¬ко один раз. Что¬бы оценить погрешность по¬лу¬¬чен¬но¬го результата, можно применить правило Рун¬¬ге или просто следить за третьими разностями ??qi, ко¬то¬рые считаются по¬сто¬ян¬ны¬ми. Этого мож¬но добиться, вы¬¬бирая h каждый раз та¬кой, чтбы выражение для оценки погрешности бы¬ло |?3qi-1 - ?3qi| < ?. На практике h выбирают из не¬ра¬вен¬ст¬ва h4 < ?, где ??- за¬данная точность ре¬ше¬ния.
Метод Рунге состоит в том, что сначала находится ре¬шение диф¬фе¬рен¬ци¬аль¬но¬го уравнения при шаге h, а за¬тем зна¬че¬ние h удва¬и-ва¬ет¬ся и находится решение при нвом шаге. Погрешность оце¬нивается по формуле
??= (2m - 1) . |yn~ - y~2n| ,
где yn~ - значение приближенного вычисления при двойном шаге; m - порядок метода.
Процедура, реализующая указанную схе-му, может быть следующей:
PRОCEDURE ADAMS (A,B,H,EPS,YN : REAL;
VAR YI:MAS1);
TYPE MAS = ARRAY [1..20] OF REAL;
VAR X0, Y0, Y : REAL; FF : TEXT; I : INTEGER;
XI, DYI, YSH, QI, DQI, D2QI, D3QI : MAS;
Начальные приближения при не-ко¬то¬ром за¬даваемом начальном M0 могут быть по¬лу¬че¬ны, на¬при¬мер, по формуле трапеций, которую це¬ле¬со¬образно в данном случае использовать в сле¬ду¬ющем виде:
(3
Индекс
Элементарные функции
Линейные уравнения
Нелинейные уравнения
Случайные числа
