Вторая пачка часть 130

Одна из на¬иболее рас¬про¬стра¬¬нен¬ных фор¬мул, реализующих та¬кой подход, - это фор¬¬мула Ром¬¬берга. Алгоритм Ром¬бер¬га детально опи¬сан в работе [Rom¬berg, 1955] и яв¬ляется весь¬ма рас¬про¬стра-нен¬ным в за¬пад¬ных стра¬нах (в част¬ности, он один из на¬иболее ре¬ко¬¬мен¬ду¬е¬мых в библиотеках стан-дар¬тных программ фир¬¬мы IBM). Суть алгоритма сос¬то¬ит в сле¬ду¬ю¬щем. Пусть с помощью не¬которой ква¬дратурной фор¬мулы бы¬¬ли вычислены при¬бли¬¬жен¬ные зна¬че¬ния интеграла при Mk = M0 2k отрезках раз¬¬биения ин¬тервала ин¬¬те¬гри¬ро¬ва¬ния [a, b], но при этом требуемая точ¬ность не бы¬ла достигнута. Тог¬да в со¬¬¬от¬ветс¬твии с пра¬ви¬лом Ром¬берга по полученной сo¬во¬куп¬¬¬нос¬ти зна¬че¬ний можно при¬ме¬нить при каж¬дом k из интервала?[0, p] для вычисления по¬сле¬¬до¬ва-тель¬нос¬ти при¬бли¬жений ре¬¬куррентную формулу , (3.12) При этом порядок погрешности будет определяться выражением 2*k + 2. § 5. Интегрирование с автоматическим выбором количества узлов МЕТОДОМ РУНГЕ Погрешность в вычислении определенных ин¬тег¬ралов по приближенным формулам, опи¬сан-ным в п. 3.1 - 3.4, за¬ви¬сит от шага разбиения ин¬тер¬¬вала ин¬те¬гри¬ро¬ва¬ния h и от гладкости ин¬те¬гри-руемой функ¬ции f (x), по¬этому в общем слу¬чае заранее вы¬числить по¬греш¬ность ин¬тег¬ри¬ро¬ва¬ния не¬-воз¬мож¬¬но. На практике для оцен¬ки по¬греш¬нос¬ти поль¬зу¬ются удобным правилом Рун¬ге. Опи¬шем это пра¬вило более подробно. Пусть некоторый интервал [a, b] разбит рав¬но¬мер¬но на n отрезков [xi ; xi+1 ], i = 1, 2, ..., N; x0 = a; xN = b. На каж¬дом отрезке применим формулу тра¬пе¬ций: . Слева в последней формуле стоит точное зна¬че¬ние опре¬деленного интеграла , а справа - его при¬-бли¬¬же¬н¬ное зна¬че¬ние . Найдем по¬греш¬ность по¬¬следней фор¬му¬лы с уче¬том оценок, по¬лученных в § 2, . (*) Уменьшим теперь шаг разбиения вдвое и, рас¬суж¬дая подобным образом, получим . (**) Интегрируемая функция оставалась не¬из¬мен¬ной в том и другом случае, формула ин¬тег¬ри¬ро¬ва-ния была также одинаковой, следовательно, конс¬тан¬та сi в обоих случаях должна быть тоже оди¬на-ко¬вой

Индекс
Элементарные функции Линейные уравнения Нелинейные уравнения Случайные числа