Вторая пачка часть 154

.., хn. Одним из наиболее распространенных ме¬то¬дов ре¬ше¬ния этой краевой задачи является све¬де-ние ее к сис¬те¬ме конечно-разностных уравнений. Ис¬поль¬зуя рав¬но¬мер¬¬ную сетку, образованную сис-темой рав¬¬ноотстоящих уз¬лов хi = =х0 + i.h, i = 0, 1, ..., n, ап¬прок¬¬симируем у'(х) и у"(х) в каж¬дом внут¬рен¬нем узле центральными раз¬нос¬тя¬ми а на концах отрезка - односторонними Обо¬зна¬чив х0 = а; хn = b; h = (b - а) / n; р(хi) = рi; q(хi) = qi; f(хi) = fi; у'(хi) = уi'; у"(хi) = уi"; f(хi) = уi, получим систему линейных урав¬не¬ний (4.4) Теперь, чтобы найти приближенные значения у0, у1, ..., уn искомого решения, надо решить эту сис¬тему из n+1 ли¬ней¬ных уравнений с n+1 не¬из¬вес¬тными, что мож¬но сделать лю¬бым стан¬дар¬т¬ным методом решения ли¬ней¬ных систем, ко¬торый бу¬дет называться по типу раз¬ло¬жения конечно-раз¬¬нос¬т-ным. Однако матрица по¬след¬ней системы трех¬ди¬а¬¬гональная, поэтому для ее ре¬ше¬ния при¬ме¬нима спе¬ци¬аль¬ная вычислительная схема, на¬зы¬¬ваемая ме¬тодом прогонки. Перепишем систему (4.4) в несколько ином ви¬де: (4.5) где mi = -2 + h.рi ; ni = 1 - h.рi + h2.qi . Решением уравнения (4.5) относительно уi бу¬дет yi = fi h2 / mi - ni yi-1 / mi - yi+1 / mi . (4.6) Предположим, что уi уже найдено, тогда (4.6) можно записать уi = сi (di - уi+1), (4.7) где надо определить неизвестные сi и di . Если i = 0, то на основании одного из краевых условий (4.5) имеем y0 = (?1 y1 - A h) / (?1 - ?0h) . (4.8) Подставим выражение (4.8) в (4.5) и, считая i = 0, по¬лу¬чим , откуда выразим явно у1 . Сравнив последнее равенство с равенством (4.7), опре¬де¬лим с0 и d0 (4.9) Теперь последовательно будем искать сi и di. Для этого выразим уi-1 из равенства (4.7) и подставим по¬лу¬чен¬ное выражение в выражение (4.6), из которого после эле¬мен¬тарных преобразований найдем уi : . Сравним последнее выражение с равенcтвом (4.7), опре¬¬де¬лим сi и di : (4.10) И, наконец, при i = n используем второе кра¬е¬вое ус¬ло¬вие из системы (4

Индекс
Элементарные функции Линейные уравнения Нелинейные уравнения Случайные числа