Вторая пачка часть 19

е. из каждого уравнения по¬¬сле¬до¬ва¬тельно вы¬ра¬жа¬ют хi. Здесь bi = Fi / аii; aij = - аij / аii. Таким образом, в мат¬рич¬ном виде имеем Х = В + AХ. Полученную сис¬¬¬¬тему бу¬дем решать методом по-сле¬до¬ва¬тель¬ных при¬¬ближений. За ну¬левое приближение Х(0) мож¬но при¬нять матрицу В: Х(0)= = B, и далее, под¬ста¬вив най¬денные значения в исходную систему, по¬лу¬чим Х (1) = В + A Х(0) . При бесконечном повторении этой вы-чис¬ли¬тель¬¬ной схемы имеем , где и будет искомое решение системы. Условия сходимости итерационного процесса опре¬¬¬де¬ля¬ются теоремами, которые приводятся на¬ми без до¬ка¬за¬тельств. Теорема 1. Для того, чтобы по¬сле¬до¬ва-тель¬ность при¬бли¬¬жений Х(n) сходилась, до¬ста-точ¬но, что¬бы все соб¬ст¬вен¬ные значения матрицы A были по мо¬ду¬лю меньше еди¬ни¬цы: | ?i | < 1, i = 1, 2, ..., n. Теорема 2. Если требовать, чтобы по-сле¬до¬ва¬тель¬ность Х(n) сходилась к при любом на¬чаль¬ном при¬бли¬же¬¬¬нии Х(0) , то условие те¬о¬ре-мы 1 яв¬ля¬ет¬ся не¬об¬хо¬ди¬мым. Применение теорем 1 и 2 требует знания всех соб¬¬¬ст¬вен¬ных значений матрицы A, нахождение ко¬¬то¬рых яв¬ля¬ет¬ся очень не простой за¬да¬чей. По¬э¬то¬му на прак¬ти¬ке огра¬ни¬чи¬ва¬ются бо¬лее прос¬той те¬о¬ре¬мой, дающей до¬статочные ус¬ло¬¬вия схо¬димости. Теорема 3. Если для системы Х = В + AХ в¬ы¬пол¬¬¬няется хотя бы одно из условий : ; , то итерационный процесс сходится к един-ствен¬но¬¬му ре¬ше¬¬нию этой системы независимо от вы¬бо¬ра на¬чаль¬но¬го при¬ближения. Для многих приложений важно знать, какой яв¬¬ля¬ет¬ся ско¬рость сходимости про¬цес¬са, и оценить по¬¬греш¬ность по¬лу¬ченного ре¬ше¬ния. Теорема 4. Если какая-либо норма мат-ри¬цы A, со¬гла¬со¬¬ванная с рассматриваемой нормой век¬то¬ра Х, меньше еди¬¬ницы, то верна следующая оцен¬¬ка по¬греш¬нос¬ти при¬бли¬жения в методе прос¬той итерации: . В библиотеках стандартного ма¬те¬ма¬ти-чес¬ко¬го обес¬¬пе¬че¬ния ЭВМ всегда можно найти не¬сколь¬ко ва¬¬¬¬¬риантов про¬грам¬мы, выполняющей ре¬шение сис¬¬¬¬¬те¬мы линейных урав¬не¬ний методом прос¬той ите¬¬¬ра¬ции

Индекс
Элементарные функции Линейные уравнения Нелинейные уравнения Случайные числа