Вторая пачка часть 229
Как правило, аналитическими методами можно ре¬шить диф¬ференциальные уравнения только опре¬де¬лен¬но¬го вида. Если уравнение не сводится никакими тож¬дес¬твенными пре-образованиями ни к одному из из¬вест¬ных типов диф¬фе¬рен¬циальных уравнений, то решение та¬-кой задачи может быть найдено только спе¬ци-аль¬ны¬ми численными ме¬то¬да¬ми. Рассмотрим на-и¬бо¬лее часто при¬меняемые на практике.
§ 1. ПРИБЛИЖЕННОЕ РЕШЕНИЕ ОБЫКНОВЕННОГО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ МЕТОДОМ ЭЙЛЕРА
При обсуждении методов решения задачи Ко¬ши огра¬ничимся рассмотрением диф¬фе¬рен¬ци-аль¬нго урав¬не¬ния пер¬вого порядка у' = f(х,у), удов¬лет¬воряющего на¬чальному ус¬ловию у(х0) = у0 .
Численное решение задачи состоит в по-стро¬е¬нии таб¬л謬цы приближенных значений у1, у2, ..., уn, яв¬ля¬ю¬щих¬ся ре¬ш嬬ниями уравнения у = у(х) в то¬чках х1, х2, ..., хn. Чаще все¬го точки хi рас-по¬ло¬же¬ны равномерно: хi = х0 + h.i, где i = =1, 2, ..., n. Точ¬ки хi называют узлами сетки, h - шагом сет¬¬¬ки. Ясно, что h > 0.
Для получения решения задачи Коши вос-поль¬зуемся ра第ложением функции в ряд Тейлора. Для этого про¬диф¬фе¬ре¬н¬цируем исходное урав¬не¬ние у' = f(х,у) по х n раз. Тог¬да с учетом пра¬вила диф¬фе¬рен¬ци¬ро¬ва¬ния слож¬ной функ¬ции плучим сле¬дующие соотношения:
у" = fx (х, у) + fx (х, у) ? у';
у"'= fxx (х,у)+2fxy(х,у) ? у' + fyy(х,у) ? (у') + fy(х,у) ? у"; . . .
Полагая х = х0 и у = у0, получаем ряд у'(х0); у"(х0); у"'(х0); ... ; у(n)(х0), который сходится к ре¬ше¬нию по¬став¬лен¬ной задачи, т.е.
. (4.1)
Надо заметить, что если |х - х0| больше ра-ди¬у¬са схо¬ди¬мос¬ти ряда у'(х0); у"(х0); у"'(х0); ...; у(n)(х0), то погрешность |? - у| не стремится к ну-лю при n , т.е. ряд рас¬хо¬дит¬ся. Тогда по¬сту-па¬ют сле¬дующим об¬ра¬зом. Отрезок [х0,х0+Х], на ко¬то¬ром ряд расходится, раз¬би¬ва¬ют на меньшие от¬ре第ки [хi, хi+1], где i = 1, 2, ..., n, и по¬лу¬чают но-вые по¬сле¬до¬ва¬тельные приближения уj к ре-шению у(хj ) при j = 1, 2,
Индекс
Элементарные функции
Линейные уравнения
Нелинейные уравнения
Случайные числа
