Вторая пачка часть 236

Однако, так как сплайн¬-интерполяция да¬ва¬ла бо¬лее хорошие и ус¬¬той¬чи-вые результаты, эта идея не по¬лу¬чи¬ла ши¬¬ро¬¬ко¬го рас¬про¬¬странения. Haибольшей популярностью сегодня на прак¬ти¬ке при ин¬терполяции пользуются полиномы 2-й и 3-й сте¬пени. Ос¬тановимся под-роб¬нее на по¬ли¬но¬мах 3-й сте¬пе¬ни, так на¬зы-ваемых ку¬¬¬бич¬еских сплай¬нах. Кубические сплайн-функции моделируют очень ста¬¬рое ме¬¬¬ханическое устройство, которым поль¬зо¬ва¬лись чер¬теж¬¬ни¬ки. Они брали гибкие рейки, из¬¬го¬тов¬лен¬ные из до¬¬ста¬точ¬но упругого ма¬те¬ри¬а¬ла, на¬при¬мер из дерева. Эти рейки за-креп¬ляли, под¬¬¬ве¬ши¬вая груз¬ики в точках ин¬-терполяции, на¬¬зы¬¬¬¬ва¬е¬мых ин¬тер¬по¬ляционными узлами. Рей¬¬ка или ме¬ха¬ни¬чес¬кий сплайн при¬ни-ма¬ли форму с на¬и¬мень¬¬шей по¬тен¬ци¬аль¬ной энер-ги¬¬ей. Последнее ус¬ло¬¬¬вие имеет свое мате¬ма¬ти-чес¬¬¬кое вы¬ра¬жение: f(IV)(x) ? 0. Если при этом сплайн н е раз¬ру¬¬ша¬ет¬ся, то тог¬да сле¬дует, что f и f' должны быть не¬пре¬рыв¬ны на [х0, хn] . Из теории балок известно, что функ¬ция f(х) меж¬ду каж¬дой парой заданных то¬чек может быть предствлена по¬¬линомом 3-й сте¬пени f(xi) = ai + bi(x - xi) + ci(x - xi)2 + di(x - xi)3, где хi-1 < х < хi. При этом между каждой парой со¬сед¬¬них уз¬¬¬лов полиномы соединяются непрерывно (так¬ же, как их пер¬¬вые и вторые про¬из¬вод¬ные). Кубическую сплайн-функцию, удов¬ле-тво¬ря¬ю¬щую ус¬ло¬ви¬¬ям f"(х1) = f"(хn ) = 0, называют ес¬тест¬¬¬венным ку¬би¬чес¬ким сплайном. С ма¬те¬ма¬ти¬чес¬кой точки зре¬ния бы¬ло до¬ка¬за¬¬но [Алберг, 1972], что она является един¬ствен¬ной функ¬ци¬¬ей, об¬ла¬да¬ю¬щей минимальной кри¬виз-ной среди всех функ¬¬¬ций, интерполирующих данные точ¬ки и име¬ю¬щих квад¬¬¬ратично ин¬те¬гри-ру¬е¬мую вторую про¬¬из¬¬вод¬ную. В этом смыс¬¬ле ку¬би¬чес¬кий сплайн будет са¬¬мой гладкой функцией, ин¬¬тер¬по¬ли¬¬ру¬ю¬щей за¬дан¬ные точ¬ки. Построение кубического сплайна - простой и чис¬лен¬¬но ус¬¬тойчивый процесс. Вычислительных схем, ре¬¬а¬ли¬¬зу¬ющих по¬-строение кубического сплайна по за¬дан¬ным зна-чениям функ¬¬ции, в математике из¬вест¬но до¬воль-но мно¬го

Индекс
Элементарные функции Линейные уравнения Нелинейные уравнения Случайные числа