Вторая пачка часть 238
Здесь введены следующие обозначения:
Умножим полученные равенства для разностей треть¬его по¬рядка на квадрат их зна¬ме¬на-телей и по¬лучим:
-h1?1?+ h1?2 = h12??1??? ; hn-1??n - hn-1??n-1 = -hn-12?????n?? .
Таким образом, для сплайна с заданными вы¬ше гра¬нич¬ны¬ми условиями коэффициенты ?i удо⬬ле¬тво¬ря¬ют сле¬ду¬ю¬щей системе из n линейных ура⬬н嬬ний с n не¬из¬вест¬ными:
Последнюю систему из n линейных уравнений с n не¬из¬вес¬тными можно решать методом ис¬клю¬¬ч嬬ния, но однако ес¬ли при решении ис¬поль¬зо¬вать осбые свой¬ст¬ва матрицы сис¬темы (она трех¬ди¬а¬го¬наль¬ная, сим-мет¬ричная, для лю¬бо¬го выбора х1< х2< ... < хn не-вы¬ро欬денная и диагонально до¬минирующая), то всегда су¬ще¬ствует един¬ствен¬ное ре¬ше¬ние системы. Обозначим это решение через ?1, ??, ..., ?n . Мож¬но так¬же показать, по¬скольку для всех х?, х?, ..., хn мат¬¬ри¬ца ко¬эффициентов хрошо обус¬лов¬ле¬на, то Гауссово ис¬¬клю¬чение пр謬ведет ис¬¬ход¬ную сис¬тему к ленточной фор¬ме:
.
Здесь вычисляются
1) диагональные элементы ?i:
?? = - h? ; ?i = 2(h i?? + hi) - h2i?? / ?i?? ?
?n = -hn?? - h2n??/ ?n??;
1) правые части матрицы ?i:
?? = h2???????; ?i = (?i????i??) - hi?? ?i?? / ?i??;
?n = -h2n???????n?? - hn???n??/ ?n??,
(здесь для всех соотношений i = 2, 3, ..., n-1). Тог¬да искомые??i определяются через обратную по䬬становку
?n????n????n; ?i?????i?? hi???i+1?????? i
для всех i = n - 1, n - 2, ..., 1.
Вычислительные схемы, используемые для ре¬ше¬ния сис¬¬¬тем с трехдиагональной матрицей, тра¬ди¬ци¬он¬но на¬зы¬вବют методом прогонки.
В некоторых случаях по различным причинам пред¬по¬ч¬ти¬тельнее вычислять и сохранять коэф¬фи¬ци¬ен¬ты bi, сi и di для функции s(х), записанной в не¬сколь¬ко ином виде :
s(х) = уi + bi (х - хi ) + сi (х - хi)2 + di (х - хi )3 ,
x ???xi, xi+1],
где на каждом подынтервале [хi, хi+1] указанные коэф¬фициенты выражаются через ??i и hi:
bi = (уi+1 - уi) / hi - hi (?i+1 + 2?i); сi = 3 ?i;
di = (?i+1 - ?i) / hi
Индекс
Элементарные функции
Линейные уравнения
Нелинейные уравнения
Случайные числа
