Вторая пачка часть 100
9.6. На БПФ рис. 9.7. пказана в качестве примера свертка экспоненциально убывающей последовательности x(t) = e-t с самой со¬бой, полученная с использованием процедуры fft.
2.4. Синтез сигналов с помощью БПФ
Алгоритм БПФ, изложенный выше, может быть использован для синтеза L-периодического про¬дол¬же¬ния дискретизированного сигнала x(t) по его ам¬пли-туд¬но¬му и фазовому спектрам [Ахмед, Рао, 1980]. Пусть дис¬кретизированный сигнал представляет собой по¬сле¬до¬вательность {X(m)}, m = 0, 1, ..., N при X(0)=X(N), ко¬то¬рая отвечает непрерывному сигналу x(t), из¬ме¬рен¬ному на промежутке времени длиной L. Пусть также за-да¬ны |Fx (kw0 )| и ?x (kw0 ) при k = 0, 1, ..., N/2 и N=2n , w0 =2?/L. Тогда сигнал X(m) может быть восстановлен (син¬тезирован) в соответствии со следующим ал¬го¬рит¬мом:
1) находим Fx (kw0) = |Fx(kw0)| , k = 0, 1, ..., N/2;
2) определяем Cx (k) = (1/L) Fx (kw0 ), k = 0, 1, ..., N-1, где, в соответствии с теоремой о комплексной со¬пря¬жен¬ности [Ахмед, Рао, 1980], Cx(N/2 + l) = (N/2 - l), l= 1, 2, ..., N/2 - 1;
3) с помощью алгоритма БПФ производим обратное пр嬬образование Фурье и на¬хо¬дим .
Данный алгоритм тес¬ти¬ро¬вал¬ся с использованием про¬це¬ду¬ры FFT, пример полученных результатов для N = 8, в срав¬не¬нии с контрольными, пред¬став¬лен в табл. 9.2.
Таблица 9.2
k |Fx (kw0 )| ?x (kw0 ) X(m) X(m)
(контр. знач.)
0 3.5 0 0.000000+0i 0
1 1.306563 -1.178097 1.000000-0i 1
2 0.707107 -0.785398 2.000000-0i 2
3 0.541196 -0.392699 3.000000-0i 3
4 0.5 - 4.000000-0i 4
5 - - 5.000000-0i 5
6 - - 6.000000-0i 6
7 - - 7.000000-0i 7
N = 5: H0 = H5 = 19/288; H1 = H4 = 25/96; H2 = H3 = 25/144.
Этот список при необходимости можно про¬дол¬жить. Но если теперь рассмотреть частные слу¬чаи фор¬му¬лы Ньютона - Котеса, то:
1) при n = 1 получаем формулу трапеций:
;
1) при n = 2 получаем формулу Симсона:
;
2) при n = 3 получаем формулу "трех восьмых":
.
Погрешность последней формулы оценивается [Чис¬ленные
Индекс
Элементарные функции
Линейные уравнения
Нелинейные уравнения
Случайные числа
