Вторая пачка часть 106
Ясно, что без огра¬ни¬че¬ния об¬щ¬нос¬¬ти можно по¬ло¬жить х0 = а; хn= b и х0 < <х1 < ... <хn. Через hi обозначим дл謬ну эле¬мен¬тар¬но¬го от¬рез¬ка (хi+1 - хi). Если заданный от¬¬ре¬зок [а, b] разбит рав¬но¬мерно, то тогда hi будет по¬стян¬на для любой [а, b]. Пусть те¬перь на [а, b] опре¬де¬л嬬на н嬬которая функ¬ция f(х). Пред¬по¬ло¬жим, что не¬об-хо¬ди¬мо най¬ти приближение к определенному ин¬¬те¬г¬рବлу, которое обозначим . Оче¬вид-но так¬же, что ес¬ли f(х) н嬬прерывна [а, b], то тогда мо欬но пре¬д¬¬¬¬¬ста¬вить как , где - ин¬те¬грал фунꬬ¬ции f(х) на эле¬ментарном от¬рез¬ке [хi+1, хi], т.е.:
.
Bсякая прос¬¬тая формула, ап¬прок¬си¬ми¬рующая от¬¬¬дель¬ный ин¬теграл , на¬зы¬¬вaется квад¬ра¬тур-ной. Составная квад¬рବтур¬ная формула - это фор¬м󬬬ла, да¬ющая при¬бли¬же¬ние ин¬¬¬т嬬гра¬ла в ви¬де суммы пр謬ближений ин¬т嬬гра¬ла¬ми по дан¬¬ной квад¬ра¬тур¬ной формуле.
Двумя простейшими квад¬ра¬тур¬ны¬ми фор¬му¬ла¬ми яв¬ля¬ются формулы пря¬мо¬угольников и тра¬пе-ций, ко¬то¬рые в ря¬де случаев оказываются на¬иболее эф¬феꬬ¬ти⬬ными.
Известны три раз¬но¬ви䬬ности формул пря¬мо¬у¬голь¬¬ни¬ков: это формулы левых, правых и средних пря¬¬¬мо¬у¬гольников. Все они основаны на ап¬про¬к¬си¬мବ¬ции каж¬до¬го ин¬те¬гра¬ла площадью пря¬мо¬у¬голь¬-ника, од¬ной из сто¬рон которо¬го яв¬ляется hi , а втрой - ли¬бо значение функ¬ции на левом кон¬¬це отрез-ка (рис.3.1, а), либо зна¬че¬ние функ¬ции на пра¬вом кон¬це от¬резка (рис. 3.1, б), либо зна¬чение фунꬬции в сред¬ней точке от¬резка (рис. 3.1, в).
Квадратурные формулы, ап¬прок¬си¬ми¬ру¬ю¬щие , бу¬дут иметь вид:
левых прямоугольников: = hi f (хi);
правых прямоугольников: = hi f (хi+1);
средних прямоугольников: = hi f (хi+1/2).
С учетом представления на элементарном от¬¬рез¬ке со¬став¬ные квадpатурные формулы пря¬му¬голь-ни¬ков мо¬гут быть записаны так:
левых прямоугольников
;
правых прямоугольников
;
средних прямоугольников
.
В формуле тра¬пе¬ций ис¬¬пользуются знବ¬че¬ния фунꬬ¬ции в кон¬це¬вых точ¬ках эле¬мен¬тар¬ных от¬рез-ков
Индекс
Элементарные функции
Линейные уравнения
Нелинейные уравнения
Случайные числа
