Вторая пачка часть 107
В этом случае ап¬прок¬с謬м謬руется пло¬ща¬дь¬ю трବ¬¬п嬬¬ции с ос¬но¬вани¬я¬¬ми f(хi) и f(хi+1) и вы¬¬со¬той ?x (рис. 3.2).
Тогда пло¬щадь фигу¬ры м¬жет быть опре¬де¬ле¬на из фо𬬬му¬лы пло¬ща¬ди пря¬¬мо¬у¬голь¬ной тра¬пе¬ции
Si = (fi + fi+1) hi /2.
Если теперь про¬сум¬ми¬руем по¬след¬нюю фор¬¬му¬лу по всем эле¬мен¬тар¬ным от¬рез¬кам, то по¬лу¬чим с уче¬том вы¬пол¬ненных эле¬мен¬тарных пре¬оᬬра¬зо¬ваний сле¬ду¬ю¬щее выражение:
Заметим, что при бесконечном умень¬шении длин эл嬬мен¬тарных от¬рез¬ков формулы обоих типов (пря¬му¬голь¬ни¬ков и трапеций) сходятся к точ¬но¬му зна¬чению ин¬¬те¬гра¬ла . Однако не яс¬но, как быстро они сходятся ? По¬пы¬¬та¬е쬬¬ся выяснить дан¬ный во¬прос, вос¬¬поль¬зо¬вав¬шись раз¬ло¬же¬н謬ем фун¬к¬¬¬¬ции в ряд Тейлора от¬но¬си¬тель¬но цен¬тра эле¬мен¬тар¬¬ного от¬резка [хi, хi+1]
f(x) = f(yi) + (x - yi) f ’(yi) + (x - yi)2 f ’’(yi)/2 +
+ (x - yi)3 f’’’(yi)/6 + (x-yi)4 f (IV)(yi)/24 + ...
Затем, проинтегрировав по¬лу¬чен¬ный ряд по каж¬до¬му из от¬резков в пре䬬положении, что ос¬тав¬ши¬е¬ся чле¬ны ря¬да на¬мно¬го меньше вы¬¬¬пи¬сан¬ных, с учетом значений ко¬эф¬фи¬ци¬ен¬тов ряда Тейлора на элементарном отрезке
получим
Член показывает ошибку фор¬му¬лы пря¬¬мо¬угольников без учета членов более вы-со¬кого по¬ряд¬ка. Ес¬ли теперь подставим в фор¬му¬лу тра¬пе¬ций зна¬чения фунꬬции в точках х = хi и х = хi+1, то по¬лучим
Можно видеть, что ошибки формул сред¬них пря¬мо¬у¬голь¬н謬ков и трапеций одного по¬ряд¬ка, т.е. да¬ют поч¬ти оди¬на¬квую точность.
Примеров вы¬чис¬ле¬ния определенных ин¬те¬г¬¬ра¬лов по прс¬тей¬шим формулам (пря¬мо-угольников и тра¬п嬬ций) мо欬но при¬вес¬ти множество. Ни од¬на БСП не оᬬхо¬дит¬ся без этих про¬цедур. Од¬ним из примеров та¬кой вы¬чис¬ли¬тель¬ной про¬це¬ду¬¬ры может слу¬жить сл嬬дующая:
PROCEDURE INTLPS (VAR S:REAL; K:INTEGER);
BEGIN
S := 0.0;
X := A;
FOR I := 0 TO N DO
BEGIN
IF K <>3 THEN X := A+ H*I
ELSE X:=A+H/2+H*I;
F := FUNC (A,B,X);
IF K=4 THEN F := F/2
Индекс
Элементарные функции
Линейные уравнения
Нелинейные уравнения
Случайные числа
