Вторая пачка часть 113

2)], пос¬¬ле подстановки в формулу (2.3) х1 име¬ем Pn(x1) = a0 + a1(x1 - x0) = у0 + а1 h = у1 . Все остальные со¬мно¬жи¬те¬ли при неизвестных ко¬эф¬фи¬циентах аi будут рав¬ны ну-лю. Преобразуя по¬след¬нее вы¬ражение, на¬хо¬дим а1 как а1 = ?1/h [здесь ?1 = Рn(х0 + h) - -Рn(х0) = у1 - у0 ]. Для того чтобы определить а2, положим х = х2 и, рас¬¬суж¬дая аналогично, определим третий ко¬эф¬фи¬циент как a2 = ?2 / (2! h2). Подставляя в выражение (2.3) последовательно все хn, при¬хо¬дим к общей формуле для получения коэф¬фи¬ци¬ен¬тов аi: ai = ?i / ( i! hi), которые подставим в фор¬¬мулу (2.3) и получим пер¬вую ин¬¬тер¬по¬ля¬ци¬он¬ную формулу Ньютона: (2.4) В формуле (2.4) обычно выполняют замену пе¬ре¬мен¬ных: q = (х - х0)/h, где h - шаг ин-тер¬¬по¬ли¬ро¬ва¬ния. Тогда пер¬вая интер¬по¬ля¬ци¬он-ная фор¬мула Нью¬то¬на за¬пи¬сы¬ва¬ет¬ся несколько ина¬че: (2.5) При n = 1 получаем формулу линейного ин¬тер¬по¬ли¬рования; при n = 2 - параболического ин¬тер¬по¬ли¬ро¬вания и т.д. Вторую интерполяционную формулу Ньюто¬на по¬¬лу¬ча¬ют, если узлы интерполяции в Рn(х) бе¬рут в не¬сколько ином порядке: Pn(x0) = a0 + a1(x - xn) + a2(x - xn) (x - xn-1) + ... ...+ an(x - xn) (x - xn-1) ... (x - x0) . Тогда, рассуждая как и в случае пер¬вой ин¬тер¬по-ля¬ци¬онной формулы, получаем ис¬ко¬мую форму записи по¬ли¬нома Ньютона, кото¬рая из¬вест¬на как вторая ин¬тер¬по¬ляционная фор¬му¬ла: (2.6) Выполнив подстановку q = (х - хn)/h, получим иную за¬пись интерполяционого многочлена Ньютона: (2.7) Первая интерполяционная формула Ньютона ис¬поль¬зу¬ет¬¬ся для интерполирования в начале отрезка [хi, хi+1] и эктра¬по¬лирования до первой точки х0, т.е. для ин¬тер¬по¬ли¬ро¬ва¬ния впе-ред и экс¬траполирования назад. При таком ин-тер¬по¬¬ли¬ро¬ва¬¬нии q = (х - хi)/h > 0. При экс¬т¬ра¬по-лировании на¬зад по первой интерпо¬ля¬ци¬¬онной фор¬муле q = (х - хi)/h < 0. При ин¬тер¬по¬ли¬ро¬¬вании в кон¬це таблицы, т.е. при ин¬¬терпо¬ли¬ро¬ва¬нии назад, ког¬да шаг ин¬тер¬по¬ляции по¬¬сто¬я¬нен, при-меняют вто¬рую ин¬тер¬по¬ля¬ци¬он¬ную фор¬¬му¬лу Нью¬тона, где q = (х - хi+1) / h < 0

Индекс
Элементарные функции Линейные уравнения Нелинейные уравнения Случайные числа