Вторая пачка часть 127

Интегрирование с автоматическим выбором количества узлов В ряде задач, например при численном решении эво¬люционных интегродиф¬фе¬рен-циальных уравнений вы¬со¬ко¬¬го порядка, когда вычисление определенного ин¬¬тегра¬ла дол¬жно выполняться на сетке с из¬ме¬ня¬ю¬щи¬м¬ся от шага к ша¬гу количеством узлов квадратурной фор¬му¬лы (пе¬ре¬мен¬ные находятся “внутри” функ¬ци¬о¬ни¬ру-ю¬ще¬го ал¬го¬рит¬ма, при¬¬меняется один или несколько пре¬де¬лов ин¬те¬гри¬ро¬ва¬ния), а по¬рядок аппроксимации дол¬жен при этом со¬от¬вет¬ст¬во-вать порядку разностной схе¬мы для диф¬фе¬рен-ци¬аль¬ной час¬ти уравнения, возникает весь¬ма нетривиальная про¬бле¬¬ма автоматического вы¬бо-ра количества узлов квад¬ра¬тур¬ной формулы, име¬ю¬щей достаточно высокую точ¬ность [Бе-лашов, 1989, 1991a, б, 1997]. Рассмотрим в ка-чес¬тве при¬мера, каким об¬разом могут в этом случае ис¬поль¬зо¬вать¬ся такие известные квадратурные формулы, как Сим¬п¬со¬на и Ньютона-Ко¬те¬са с количеством узлов m>3. Пусть, например, уравнение имеет вид (3.9) где - некоторый дифференциальный оператор; f - ин¬тегральный член, и пусть порядок аппроксимации диф¬фе¬ренциальной части уравнения (для простоты бу¬дем счи¬тать его двумерным по пространственным ко¬ор¬ди-натам) . В этом случае для ап¬прок¬си-ма¬ции его ин¬те¬¬граль¬ной части f достаточно выбрать квад¬ратурную фор¬¬¬му¬лу Симпсона (3.10) ( - аппроксимация соответствующей под¬ын¬те-граль¬ной функ¬ции, N - нечетное), которая согласно оценкам, по¬¬лу¬чен¬ным Белашовым [1989, 1991б], аппроксимирует интег¬рал на решениях уравнения (3.9) с точностью для ша¬гов сетки hx,hy ? 0.075 (зависит от по¬сто-янных ко¬эф¬¬фи¬ци¬ентов уравнения). Меньшие тре¬бо¬ва¬ния к размеру ша¬¬га и расположению узлов про¬¬¬¬стран¬ст¬вен¬ной сетки име¬ют ап¬прок¬¬си-мации интеграла квад¬ра¬¬тур¬ными фор¬му¬ла¬ми Нью¬¬то¬на-Котеса с ко¬ли¬чес¬т¬вом уз¬лов m >3: (3.11) где - коэффициенты квадратурной формулы. При этом следует помнить, что m должно выбираться та¬ким, что¬бы выражение (N - 1) / (m - 1) было целым

Индекс
Элементарные функции Линейные уравнения Нелинейные уравнения Случайные числа