Вторая пачка часть 148
.. гамма-функция определяется через факториал
Г(m + 1) = m ! . (5.2)
Отметим также, что гамма-функция удовлетворяет урав¬нению [Янке и др., 1968]
Г(z) Г( - z) .
В пределах настоящего параграфа рассмотрим ал¬го¬рит¬мы вычисления гамма-функции и связанных с ней функ¬ций только для z ? Re z = x, при этом для боль¬ших имеет место асимптотическое разложение Стир¬лин¬га [Корн, Корн, 1984]:
(5.3)
где абсолютная величина ошибки меньше модуля по¬след¬не¬го удержанного члена. В ряде приложений боль¬шое зна¬че¬ние играет не сама гамма-функция, а об¬рат¬ная ей функ¬ция 1/Г(х), которая при x [-1, 1] мо¬жет быть разложена в ряд [Справочник ..., 1979]
, (5.4)
коэффициенты которого представлены в табл. 5.1.
Таблица 5.1
i a
i a
1 - 0.422784335092 7 - 0.000804341335
2 - 0.233093736365 8 - 0.000360851496
3 0.191091101162 9 0.000145624324
4 - 0.024552490887 10 1.7527917e-5
5 - 0.017645242118 11 2.625721e-6
6 0.008023278113 12 1.328554e-6
Логарифмическая производная ? (x) гамма-функции определяется выражением [Справочник ..., 1979]
? (z) = , ? (1) = -0.5772156649015...
Вычисление ? (x) можно проводить как с учетом фор¬¬му¬лы (5.4), так и на основании соотношений
? (x) = ?(x+1) - 1/x; ?(x) = -? ctg (?x) + ? (1-x) (5.5)
или асимптотического разложения
(5.6)
Полная бета-функция есть, по определению Корн и др. (1984),
.
Неполные гамма-функция и бета-функция определяются аналитическим продолжением ин¬т嬬гралов в верхние полуплоскости со¬от¬вет¬с¬т¬венно p и p, q:
Re (p) > 0 ;
(5.7)
Re (p) > 0 ; Re (q) > 0 ; 0 ? z ?1.
Отметим, что значения неполной гамма-функции при x = z ? Re z, a= p ? Re p легко могут быть вы¬чис¬л嬬ны с помощью разложения в степенной ряд [Янке и др., 1968]
. (5.8)
Еще одна величина, связанная с гамма-функцией и на¬зываемая отношением неполной бета-функции, опре¬д嬬ляется по формуле
(5.9)
при этом для x = z ? Re z справедливо следующее со¬от¬ншение симметрии:
. (5.10)
На основании введенных определений построены про¬це¬дуры вычисления Г(х), 1/Г(х), ?(х), Гх(р) и
С помощью процедуры-функции GAMF в за¬ви¬си¬мос¬¬ти от способа ее вызова вычисляют Г(x) или 1/Г(x), ис¬клю¬чая вначале (в первом случае) точки x = 0, -1, -2,
Индекс
Элементарные функции
Линейные уравнения
Нелинейные уравнения
Случайные числа
