Вторая пачка часть 228

Глава 4. ПРИБЛИЖЕННЫЕ МЕТОДЫ ИНТЕГРИРОВАНИЯ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ И СИСТЕМ При решении многих физических и геометрических задач приходится искать неизвестную функцию по дан¬но¬му соотношению между неизвестной функцией, ее про¬из¬вод¬ными и независимыми переменными. Такое со¬от¬но¬ше¬ние называется дифференциальным урав¬не¬ни¬ем, а отыс¬ка¬ние функции, удовлетворяющей урав¬не¬нию, называется ре¬шением или интегрированием дан-но¬го уравнения. Простейшее дифференциальное урав¬не¬н-ие первого по¬ряд¬ка у' = f(у, t) имеет семейство решений у = у(t), яв¬¬¬ля¬ю¬щи¬х¬ся интегральными кривыми второго по¬ряд¬ка, ча¬¬ще все¬¬го ви¬да у = Сеt, с произвольной по¬сто¬ян¬¬ной С. Тог¬¬¬да вы¬бор начального значения у(0)=у0 опре¬де¬ля¬ет од¬ну из кри¬¬вых семейства ре¬ше¬ний, ко¬то¬рая и будет счи¬таться ре¬ше¬нием по¬став¬ленной за¬да¬чи. Основной считается задача Коши в раз¬де-ле высшей ма¬те¬ма¬тики "решение дифференциальных уравнений при¬бли¬жен¬ными методами", формулирующаяся тра¬ди¬ци¬он¬но так: тре¬бу¬ет¬ся найти решение ура¬вне¬ния у' = f(у, t) в виде у = у(t), удов¬¬лет¬во¬ря¬ю¬щее на¬чаль¬ному условию у(0) = у0. Иными сло¬ва¬¬¬ми, тре¬буется найти среди се¬мейства ин¬тег¬раль¬ных кри¬вых, являющихся част¬ными решениями диф¬фе-ренциального урав¬не¬ния у' = f(у, t), интегральную кри¬вую у(t), которая про¬хо¬¬дит через заданную точ¬ку М(t0, у0). Для двумерного случая задача Коши фо¬р-му¬ли¬ру¬ется так: если f(х,у) непрерывна в некоторой об¬лас¬ти R, оп¬ределенной как |х - х0| < а; |у - у0| < b, то существует, по крайней мере, одно решение у = у (х, t), определенное в ок¬рестности |х - х0| < h, где h > 0, и это решение будет единственным, если вы¬пол¬няется условие Липшица |f(х,?) - f(х,у)| < N . |??? у|, где N - некоторая константа Липшица, зависящая в об¬щем случае от а и b. Заметим, что решение системы диф¬фе¬рен-ци¬аль¬ных урав¬нений первого порядка при условии, что производные df/dу, df/dх, dg/dу и dg/dх су¬¬¬щест¬ву¬ют на каждом интервале ин¬те-гри¬ро¬ва¬ния, со¬дер¬жит уже две постоянные ин-те¬г¬ри¬ро¬ва¬ния и, сле¬¬до¬ва¬тель¬но, нуж¬ны два начальных ус¬ло¬вия, чтобы од¬¬но¬знач¬но оп¬ре¬де-лить эти кон¬стан¬ты

Индекс
Элементарные функции Линейные уравнения Нелинейные уравнения Случайные числа