Вторая пачка часть 230
.., m, используя следующую схему:
1) уi считаем найденным (для первого шага им мо¬жет быть у0);
2) вычисляем в точке хi производные уi(k);
3) полагаем ;
4) считаем уi+1 = zi(хi+1);
5) повторяем с первого пункта.
Если же в формуле (4.1) положить n=1, то по¬лу¬чим ос¬нов¬ную расчетную формулу метода Эй¬ле¬ра: уi+1=уi+h? ?f(х,у).
Этот метод относится к группе одношаговых, в ко¬т¬рых для расчета точки (хi+1, уi+1) тре¬буется ин¬фор¬ма¬ция только о последней вы¬чис¬лен¬ной точке (хi, уi). Он дпус¬ка¬ет простую геометрическую ин¬терпретацию [Де¬-ми¬до¬вич и др., 1962]. По¬лу¬ча¬ет¬ся, что на каждом новом при¬ближении ре¬шение пе¬ре¬ходит на другую кривую из семейства ре¬ше¬ний. Этот факт для не¬ко¬то¬рых диф¬фе¬рен¬ци¬аль¬ных урав¬не-ний может привести к боль¬шим ошиб¬кам и решения за¬да¬чи Коши начнет рас¬хо¬диться. Заметим, что хотя метод Эй¬ле¬ра относится к ит¬¬е-ра¬ци¬он¬ным, но ошибки, сделанные на ран¬¬них эта¬пах, не умень¬шаются из-за не¬ус¬то鬬¬чи¬вос¬ти вы¬чис¬лительной схемы и ее чув¬ст¬ви¬тель¬нос¬ти к шаг¬у раз¬би¬е¬ния отрезка, на котором ищется ре-ше¬ние. Что¬бы обойти эту трудность, пр謬меняют дру¬гие вы¬¬чис¬ли¬тель¬ные схемы или ме¬тды.
Для оценки погрешности метода Эйлера на о䬬ном из ша¬гов сетки разложим точное решение в ряд Те¬й¬¬лора в окрестности узла хi:
у(хi+1) = у(хi+h) = у(хi) + у'(хi).h + ?(h2) =
= у(хi) + f(хi,уi).h + ?(h2).
Сравнение разложения с основной расчетной фор¬му¬лой метода показывает, что они совпадают до чле¬нов первого порядка по h, а погрешность фор¬мулы рав¬на ?(h2), т.е. метод Эйлера от¬но¬сит¬ся к методам пер¬во¬го порядка.
Программа, реализующая метод Эйлера, мо¬жет быть пред¬ставлена простой процедурой-фун¬к¬¬цией [Плис, Сли¬вина, 1983] (перевод на язык PASCAL выполнен ав¬то¬ра¬ми):
FUNCTION EYLER (X, H, Y : REAL) : REAL;
BEGIN EYLER := Y + H*FUNC(X,Y) END.
Формальные параметры про¬цедуры. Входные: х (тип real) - очередное значение хi; h (тип real) - величина ша¬га разбиения отрезка, на котором ищется решение; у (тип real) - предыдущее значение уi; FUNC(х) (тип real) - процедура-функция, вычисляющая значение прବвой час¬ти уравнения по заданным х и у
Индекс
Элементарные функции
Линейные уравнения
Нелинейные уравнения
Случайные числа
