Вторая пачка часть 237

Здесь на¬ми рассмотрена одна из эф-фек¬тив¬ных и прос¬тых вы¬чис¬ли¬тель¬¬ных схем, об-ла¬дающая свойством абсолютной ус¬той¬чи¬¬¬вос¬ти. Рас¬смотрим под¬ын¬¬тер¬вал [хi, хi+1] и пусть hi = хi+1 - хi; w = (х - хi )/ h ; W = 1 - w. Оче¬видно, когда х пробегает значения из ука¬зан-но¬го под¬ын¬тервала, w изменяется от 1 до 0, а W - от 0 до 1. Рас¬суж¬дая, приходим к следующему пред¬став¬ле¬нию сплай¬на на этом подынтервале: , где??i и ?i+1 - некоторые константы, которые пред¬сто¬¬ит оп¬ре¬делить. Первый и второй члены в этой фор¬му¬ле со¬от¬вет¬с¬твуют ли¬ней¬ной ин¬тер¬поляции, а член, взя¬¬тый в квад¬ратные скоб¬ки,- это ку¬би¬чес¬кая по-прав¬¬ка, ко¬то¬рая обес¬¬¬пе¬чивает не¬обходимую глад¬¬кость функ¬ции. От¬ме¬тим, что она на концах под¬¬¬ын¬тер¬¬¬ва¬ла об¬ра¬ща¬ется в 0 и тогда s(хi) = уi; s(хi+1) = уi+1. Та¬ким об¬ра¬зом, s(х) будет ин¬тер¬по-ли¬ровать за¬¬дан¬ные зна¬че¬ния не¬за¬ви¬си¬мо от вы-бо¬ра ?i . Продифференцируем трижды s(х) как слож¬ную функ¬цию от х и, учитывая, что w' = 1/hi, W' = -1/hi, по¬лу¬чим про¬из¬водные s(х) 1-, 2- и 3-го порядков , , . Заметим, что s"(х) - линейная функция, ин¬тер¬по-ли¬ру¬ю¬щая зна- ¬че¬ния ??i?и 6?i + 1 в точке х = хi . Сле¬до¬¬¬вательно, ко¬эф¬фи¬циент ?i = s"(хi)/6, а s'''(х) яв¬ля¬¬¬ет¬ся константой на каж¬дом под¬ын¬тер¬ва¬ле и по¬э¬то¬¬му четвертая про¬из¬вод¬ная тож¬де¬¬ственно рав¬на 0. На концах подынтервала s'+(хi) = s'-(хi), так как ра¬нее бы¬ло выставлено требование непре¬рыв¬нос¬¬ти функ¬ции s(х). Но, с другой стороны, s'+(хi) = ?i - hi (?i+1 +2?i) и s'-(хi+1) = ?i + hi (2?i+1+?i), где ?i = (уi+1 - уi)/hi. С учетом равенства про¬из-вод¬ных слева и справа в окрестности каждой точки для всех i по¬¬лу¬ча¬ем ?? - hi(?i+1 + 2?i) = ?i-1 - hi-1(2?i + ?i-1), от¬куда имеем трехточечную систему из n - 2 ли-ней¬ных урав¬нений относительно ?i hi-1??i-1 + 2(hi-1 + hi)?i + hi??i+1 = ?i - ?i-1, где i = 1, 2, ..., n. Заменим третью производную по s разностью треть¬его по¬рядка. Тогда условие для s'''(х) в кра¬е¬вых точках i =1 и i = n запишется (?2- ?1) / h1 =??1?3)?(?n -??n-1) / hn-1 =??(3)n-3

Индекс
Элементарные функции Линейные уравнения Нелинейные уравнения Случайные числа