Вторая пачка часть 56

Пусть J(х) обо¬зна¬чает мат¬ри-цу Якоби и ее (i, j)-й эле¬мент есть значение про¬изводной в точке xi. Как и в одномерном слу¬чае (n = 1), ме¬тод Ньютона на¬чи-на¬ется с про¬из¬воль¬но¬¬го Х, обо¬зна¬чен¬ного Х0. Да¬лее F ли¬не¬а¬ри¬зу¬ют для Х0, раз¬ла¬гая его в ряд Тей¬ло¬ра и учи¬ты¬вая лишь пер¬вые чле¬¬ны: F(Х)= F(Х0) + J(Х 0)(Х - Х0) + ... Линейное приближение к F около Х0 в опе¬ра-тор¬ной фор¬ме задается L(Х) = F(Х0 ) + J 0(Х - Х0), где J0 = J(Х0). Чтобы найти следующее приближение Х к ре¬ше¬¬¬¬нию сист¬емы F(Х) = 0, решают уравнение F(Х0) +J0(Х1 - Х0) = 0. Естественно, решение мож¬¬но так¬же за¬пи¬сать в фор¬ме X1 = =X0 - (J0) -1 F(X0), силь¬но на¬по¬ми¬на¬ющей од¬но¬мер¬ную фор-му¬¬лу метода Нью¬¬¬тона. Однако для большинства систем из n урав¬не¬ний с n не¬¬из¬вестными вычисление обратной мат¬ри¬¬цы (J0) -1 не яв¬ля¬ется не-обходимым, а на¬о¬бо¬рот, пре¬д¬поч¬ти¬тель¬нее ре-шать ли¬ней¬¬ную сис¬те¬му от¬но¬¬¬си¬тельно по-правки Х1 - Х0. В общем случае, имея Хk, можно найти Хk+1 при¬¬бав¬ле¬нием к Хk поправки Хk+1 - Хk, по¬лу-чен¬ной из ре¬шения ли¬нейной системы F(Хk ) + J k(Хk+1 - Хk) = 0. (1.27) Сходимость итерационного процесса (1.27) до¬ка¬¬зы¬ва¬ется теоремой Дж.Форсайта и др. (1980), ко¬¬¬то¬рую сфор¬му¬лируем неформально. Пусть r - решение системы F(Х) = 0 такое, при ко¬то¬ром J(n) не вырождена и вторые частные про¬из¬вод¬¬ные функ¬ции F непрерывны вблизи r. Тогда, ес¬ли Х0 до¬ста¬точ¬но близко к r, то ньютоновы ите¬ра¬ции схо¬дятся. Бо¬лее того, для еk = хk - r при k? ? от¬но¬ше¬ние ограничено. Cхо¬ди¬мость про¬цесса будет 2-го по¬ряд¬¬ка. Как и в одномерном случае, здесь основная про¬¬¬бле¬ма сос¬тоит в удачном выборе начального при¬¬бли¬¬же¬ния, ко¬то¬рое желательно было бы выбрать до¬ста¬точ¬но близ¬ко к пред-полагаемому корню, что¬¬бы могла на¬чаться быстрая схо¬¬ди¬¬мость. На практике такое приближение достигается или очень большим везением (удачно выбран Х0), или му¬жест¬вом и настойчивостью ис¬сле¬до¬ва¬те¬ля (выполняется очень мно¬го ите¬раций до того, как про¬цесс нач-нет быстро схо¬дить¬ся)

Индекс
Элементарные функции Линейные уравнения Нелинейные уравнения Случайные числа