Вторая пачка часть 65
п. 3.5), но часто при¬вдит к громоздким вы¬чис¬лениям.
Метод Зейделя применяют в двух расчетных сх嬬мах. Рассмотрим каноническую форму (для сх嬬¬мы ите¬раций). Пусть система приведена к ви¬ду Х = Вх + b. В схеме про¬с¬той итерации сле¬ду¬ю¬щее при¬бли¬же¬ние Х(k +1) находит¬ся пу¬тем под¬ста¬но⬬ки пре¬ды¬ду¬ще¬го приближения Х(k) в правую часть выражения X(k +1) = B X (k) + b.
Для удобства рассуждений полагаем, что л嬬¬вые час¬ти уравнений содержат хi (элементы матрицы X(k +1)) с во第рас¬тବю¬щи¬ми но¬ме¬рами, т.е. сначала х1, затем х2, х3, ..., хn. Тог¬да ре¬ше¬ние системы уравнений Х = Вх + b на оче¬ред¬ной (k +1) итерации будет имет вид
, (1.32)
т.е. каждое очередное найденное приближение хi(k +1) сразу же используется для определения . Ус¬ло¬вия схо¬ди¬мос¬ти для итерационного ме¬тода Зей¬де¬ля дают те же тео¬ре¬мы, что и в ме-то¬де простых ите¬ра¬ций.
Вторая форма метода Зейделя требует пред¬ва¬р謬тель¬но¬го приведения системы (1.22) к ви¬ду, ког¬да все ди¬а¬го¬наль¬ные элементы отличны от ну¬¬ля. Ес¬ли раз¬ло¬жить мат¬ри¬цу А на сумму двух мат¬¬риц R + С, где R - ниж¬няя ди¬а¬го-наль¬ная мат¬р謬ца, а С - верх¬няя с нулями на главной ди¬а¬¬го¬нବли, то систему (1.22) можно за-пи¬сать как
Ax = (R + C)x = R x(k +1) + C x(k) = B
или x(k +1) = R -1B - R -1C x(k)
и тог¬да становится ясно, что метод Зейделя в ка-но¬ни¬чес¬кой форме равносилен методу простой ите¬ра¬ции, при¬ме¬не¬н¬ному к системе
X = R -1B - R -1C X.
Для решения системы линейных уравнений ме¬тдом Зейделя можно использовать процедуру из п. 3.5, слег¬ка ее модифицировав для слу¬чая сис¬те¬мы n урав¬не-ний:
PROCEDURE ITER (N, IK :INTEGER; EPS : REAL;
A : MAS1; B : MAS; VAR X : MAS);
VAR X1 : MAS; S : REAL; I, J, K : INTEGER;
BEGIN X1 := B;
X := X1;
K := 0;
REPEAT S := 0.0;
INC(K);
FOR I := 1 TO N DO
BEGIN
FOR J := 1 TO N DO
X[I] := A[I,J]*X1[J] + B[J];
S := S + ABS (X[I]-X1[I]);
X1 := X;
END;
S := S / N; X1 := X;
UNTIL (S<EPS) AND (K>IK);
END
Индекс
Элементарные функции
Линейные уравнения
Нелинейные уравнения
Случайные числа
