Вторая пачка часть 76
(1.16)
При n ? 0 полагаем х0 = а. Геометрически этот сп¬¬соб эквивалентен замене кривой F(х) хордой А0В, про¬хдящей через A0 (b, F(b)) и В(а, F(а)) (см. рис. 1.1). Из ана¬литической геометрии найдем х1 как точ¬ку пере¬се¬че¬ния хорды А0В с осью Ох:
,
полагая при этом у = 0, име¬ем
.
Точку х2 ищем как пе¬ре¬с嬬чение хорды А1В, где А1 (х1, F(х1)), с осью 0х (см. рис 1.1):
,
полагая опять у = 0, имеем:
.
Далее каждое очередное хn будем определять по фор¬муле
. (1.17)
Процесс продолжаем до тех пор, пока не нач¬нет вы¬¬¬полняться условие |хn - хn-1 | < ?.
Оценим погрешность этого метода [Березин, Жи䬬¬¬ков, 1962]. Пусть найдутся хn и хn-1 и пусть F'(х) не¬пре¬рыв¬на и на всем отрезке [а, b] со¬хра¬ня¬¬¬ет свой знак, при¬чем вы¬пол¬ня¬ет¬ся условие:
0 < m1 < |F'(х)| < М1 < +7.
Примем, что хn определен по фор¬муле (1.17), где n = 1, 2, ..., а; b - неподвижная точ¬¬¬ка. Учитывая, что F(?) = 0, име¬ем
и, применив теорему Лагранжа o конечном при-рବщ嬬¬нии функ¬ции, получим:
(??? хn -1) F '(??n -1) = (хn- хn -1) F '(Xn -1) ,
где ??n -1 ??[xn -1,?????Xn -1 ??[xn -1,?????сл嬬до¬вବтельно
. (*)
Так как F '(х) сохраняет постоянный знак на от¬резке [а, b], причем ??n-1 ??[xn-1,????и Xn-1 ??[xn-1,???, то чис¬ли¬тель дро¬би можно ограничить раз-ностью между max (F'(?) ) и min( F'(?) ) на отрезке [а, b]:
|F '(Xn-1) - F'(? n-1)| < М1 - m1 . (**)
Из выражений (*) и (**) находим
, (1.18)
где М1 = sup ( |F '(х)| ) и m1 = inf ( |F '(х)| ) на от-рез¬ке [а, b]. Ес¬ли при этом отрезок [а, b] мал, то име¬ет мес¬¬то не¬ра¬венство М1 < m1, тогда оценка еще более упр¬¬щается, т.е., как толь¬ко об¬на¬ружили, что рас¬¬стояние между двумя псл嬬¬до¬ва¬тельно вы¬чис¬лен¬¬ны¬ми корнями |хn - хn-1| ? , где ? - заданная предель¬ная п¬греш¬-ность, то мож¬но га¬ран¬тировать, что |??- х n-1| ?. Для вы¬чис¬ле¬ния зна¬чения корня на от¬рез-ке [а, b] с зବдан¬ной точ¬нос¬тью ? можно вос¬поль-зо¬вать¬ся про¬ц嬬ду¬рой HORD
Индекс
Элементарные функции
Линейные уравнения
Нелинейные уравнения
Случайные числа
