Вторая пачка часть 78
031803; F(x) = — 0.0000025773; k = 4 x = 2.960711; F(x) = — 0.0000135768; k = 6
2.3. ПРИБЛИЖЕННОЕ РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЯ F(х) = 0
МЕТОДОМ КАСАТЕЛЬНЫХ (Ньютона)
Если известно начальное приближение ре¬ше¬ния урав¬не¬ния F(х) = 0 на отрезке [а, b], то уточ¬нить ко¬рень мож¬но, как уже говорилось, лю¬бым спо¬со¬бом. Од¬ним из са¬мых эф¬¬фек¬ти⬬ных и точ¬ных ре¬ше¬ний я⬬ля¬ет¬¬¬ся ме¬тод Ньютона (ме-тод ка¬са¬тель¬ных), который сос¬¬¬тоит в по-строении ит嬬¬ра¬ц謬он¬¬ной по¬сле¬до¬ва¬тель¬нос¬ти [Бах¬ва¬лов, 1973б]
,
схдящейся к корню уравнения F(?) = 0. Для пр謬¬м嬬не¬ния этого метода не¬об¬хо¬ди¬мо су¬щест¬во-ва¬ние пе𬬬вой и вто¬рой производных и их зна¬ко-псто¬ян¬ст¬во на ис¬сле¬ду¬е¬мом от¬ре¬зке.
Рассмотрим метод более подробно. Пусть на鬬д嬬¬¬но не¬ко¬торое = ?, где ??? [а, b]. При уточ¬¬не¬нии корня по ме¬то¬ду Ньютона полагаем ??= , где - до¬ста¬точ¬но мବлое число. Тогда, счи¬тая ? кор¬¬нем уравнения, на¬хо¬дим , при¬ме¬нив фор¬му¬лу Тей¬лора:
,
от¬куда , и окончательно по¬л󬬬-чаем ре¬кур¬рентную формулу
. (1.19)
Достаточные условия сходимости опр嬬¬де¬ля¬ют¬ся те¬о¬ре¬мой.
Теорема: Пусть F(х) определена и дважды диф¬¬¬¬¬фе¬рен¬цируема на отрезке [а, b], причем F(а)F(b) < 0, а приз¬вод¬ные F'(х) и F"(х) со¬хра¬ня¬¬ют знак на от¬рез¬ке [а, b]. Тогда, ис¬ходя из на¬чаль¬¬н¬¬го при¬бли¬ж嬬ния х0 ? [а, b], удов¬лет-во¬ря¬¬ю¬ще¬го н嬬¬¬равенству F'(х0)F"(х0) > 0, можно по¬стро¬ить п¬¬¬сле¬до¬ва¬тель¬ность
, n = 0, 1, ...,
схо¬дящуюся к единственному на отрезке [а, b] ре¬ше¬нию ? урав¬нения F(?) = 0.
Если нулевое приближение выбрано дос-та¬точ¬¬но близко к корню, то итерации сходятся очень быстро, со скростью геометрической прогрессии.
Алгоритм данного метода очень простой и яс¬ный и имеет, как и метод хорд, графическую ин¬тер¬¬претацию (рис. 1.2).
1. Через точку А0(х, у) с координатами х = b, у = F(b) про¬водим ка¬са¬тель¬¬ную.
2. На¬ходим пересечение касательной с осью 0x (точ¬к¬а х1)
Индекс
Элементарные функции
Линейные уравнения
Нелинейные уравнения
Случайные числа
