Вторая пачка часть 84

По¬лу¬чен¬ное значение х1 снова под¬¬ста¬вим в ле¬вую часть и получим w(х1) = х2. Про¬дол¬жая этот про¬цесс, за¬пишем по¬сле¬до¬ва-тель¬ность чи¬¬сел х1 , х2 , ..., xn, ко¬торая мо¬жет либо схо¬дить¬ся, т.е. иметь предел, ли¬бо рас¬хо¬дить¬ся, т.е. не иметь предела. Тогда в со¬¬ответствии с по-лу¬чен¬ным результатом в первом слу¬чае этот предел назовем кор¬¬нем урав¬¬нения (1.15), во втором случае сде¬лаем вы¬¬вод о не¬воз¬можности по¬лу¬чения ре¬ше¬ния дан¬ным спо¬со¬бом. Оба этих варианта оп¬ределяются теоремой схо¬¬¬¬димости ите¬рационного про¬цесса. Теорема. Пусть на отрезке [а, b] имеется един¬¬ствен¬ный корень уравнения х = w(х) и во всех точ¬¬¬ках этого от¬рез¬ка производная F'(х) удов¬ле¬т¬во¬¬¬ря¬ет неравенству |F’(х)|< q < 1. Если при этом вы¬¬пол¬ня¬¬ется и условие а <??w(х) < b, то ите¬ра¬ци¬он¬ный про¬цесс сходится, а за ну¬ле¬вое приближение х0 мо¬жно взять любое число из отрезка [а, b]. Последнее утверждение означает, что {хi} ??[а, b]. Чем меньше |w'(х)|, тем лучше схо¬ди-мость ите¬ра¬ци¬¬онного процесса. Пусть теперь ? - точное значение корня, а хk - при¬¬¬бли¬женное. Попробуем оценить погрешность ме¬¬¬тода. Со¬гласно теореме [Бахвалов, 1973а], q опре¬¬деляется из |w'(хk)| < q < 1. Тогда должно быть спра¬¬ведливо соот¬но¬ше¬ние |??- хk| < q(q - 1)-1 |хk - хk -1|. Если положить, что ? отличается от хk на ве¬ли-чи¬ну, мень¬шую ?, то |? - хk| <?? и по¬сле¬до¬ва¬тель-ность {хk} на¬до вы¬чис¬лять до тех пор, пока не бу¬дут вы¬пол¬нены ус¬ло¬вия q(q - 1)-1 |хk - хk-1 | < ? или |хk - хk-1 | < ??(q - 1)/q , откуда можно сделать сле¬дующий вывод: так как урав¬¬не¬ние F(х) = 0 при¬водится к виду w(х)= х раз¬ны¬ми спо¬со¬ба¬ми, то для метода итераций сле¬ду¬ет выб¬рать такое ура¬в¬нение для w(х), для ко¬то¬ро¬го вы¬полняется усло¬вие те¬оремы. В заключение отметим, что при ис¬поль¬зо-ва¬нии ме¬то¬да простых итераций основным и, по¬жа¬луй, са¬мым важ¬ным моментом является выбор функ¬¬ции w(х) в урав¬нении х =??w(х), эк-ви¬ва¬лент¬ном ис¬ход¬но¬му

Индекс
Элементарные функции Линейные уравнения Нелинейные уравнения Случайные числа