Вторая пачка часть 93
8)
где w0 = 2?/T - основная угловая частота, а коэф-фи¬ци¬ен¬ты вычисляются по формулам
.
Таким образом, сигнал x(t) можно представить мно¬жес¬твом действительных чисел { a0 , an , bn }.
Разложение (9.8) часто удобнее записывать в комп¬лек¬сной форме:
. (9.9)
В этом случае справедливы следующие определения.
Фурье-спектром мощности называется по¬сле¬до¬ва¬тель¬ность
Pn = |cn |2 , n = 0, ? 1, ? 2, ... , (9.10)
где Pn - мощность n-й спектральной составляющей.
Амплитудным фурье-спектром называется по¬сле¬до¬вательность
pn = , n = 0, ?1, ? 2, ... , (9.11)
а фазовый фурье-спектр определяется из следующего вы¬ражения:
(9.12)
Основные свойства спектра мощности и амп¬ли-туд¬нго спектра можно сформулировать следующим об¬ра¬зом:
1) инвариантность величине временного сдвига??;
2) неотрицательность (Pn , pn > 0):
3) четность функций Pn и pn относительно ар-гу¬мен¬та n.
Свойства фазового спектра:
1) ??n является функцией ? (изменяется при сдвиге x(t) вдоль оси t),
2) ??n инвариантен к усилению и ослаблению сиг¬на¬ла (тогда как Pn и pn являются функциями ам¬пли¬ту¬ды),
3) ??n является нечетной функцией n.
Переход от ряда Фурье к преобразованию Фурье осу¬ществляется следующим образом. Предположим, что время измерений T ? ?. Процесс в этом случае ста¬но¬вится апериодическим и w0 ? dw, nw0 ? w. В ре¬зуль-та¬те имеем:
, (9.13a)
где Fx(w) называется преобразованием Фурье функ¬ции x(t). Выражение для ряда Фурье (9.9) при этом при¬обретает вид обратного преобразования Фурье функ¬ции Fx(w):
, (9.13b)
Сравнение формул (9.9) и (9.13) позволяет за¬клю¬чить, что, если сигнал задан на конечном интервале вре¬мени T, то его преобразование Фурье Fx(w) точно опре¬деляется рядом Фурье на множестве точек, рав¬но¬мер¬но расположенных по оси w на расстоянии 2?/T од-на от другой.
Все сказанное относилось к Фурье-пред-став¬ле¬нию не¬прерывных (аналоговых) сигналов. В фи¬зи¬чес¬ких же экс¬периментах, а также, например, в эко¬но¬ми¬чес¬ких и социологических исследованиях, особенно учи-ты¬вая цифровую регистрацию и обработку дан-ных на ЭВМ, чаще всего приходится иметь дело с вре¬мен¬ными по¬следовательностями
Индекс
Элементарные функции
Линейные уравнения
Нелинейные уравнения
Случайные числа
